Bài 7.7 trang 36 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.7 trang 36 Toán 11 Tập 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Gọi M,N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: $AM\perp \left(SBC\right),AN\perp \left(SCD\right),SC\perp \left(AMN\right)$.

Lời giải:

- Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB mà SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB), suy ra BC ⊥ AM.

Lại có, M là hình chiếu của A trên SB nên AM ⊥ SB.

Vì AM ⊥ SB và BC ⊥ AM nên AM ⊥ (SBC).

- Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ CD.

Vì AD ⊥ CD và SA ⊥ CD nên CD ⊥ (SAD), suy ra CD ⊥ AN.

Do N là hình chiếu của A trên SD nên AN ⊥ SD.

Vì AN ⊥ SD và CD ⊥ AN nên AN ⊥ (SCD).

- Do AM ⊥ (SBC) nên AM ⊥ SC và AN ⊥ (SCD) nên AN ⊥ SC.

Vì AM ⊥ SC và AN ⊥ SC nên SC ⊥ (AMN).