Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2:Cho biểu thức$P=\left(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}\right):\left(1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}\right)$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y²– 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng$A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$.

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức$P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$.

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a)$A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$$=\frac{\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-xy\right)\left(1+xy\right)}$

$=\frac{x+x^{2}y+y+x{y}^2+x-x^{2}y-y+x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$$=\frac{1-x^2{y}^2+x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{\left(1+x^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$.

b) P = A : B $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$:$\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.\frac{1-x^2{y}^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}$$=\frac{2x}{1+x^2}$ (*)

Trong biểu thức (*) ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta có$1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$$=\frac{1+x^2-1+2x-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2}$.

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$

d) Để P = 1 thì$1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=1$, tức là$\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=0$, suy ra (1 – x)²= 0, do đó x = 1.

Vì x²y²– 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y²– 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.