Bài 11 trang 136 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 11 trang 136 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I.

a) Chứng minh ΔBIC ∽ ΔEIF.

b) Chứng minh FB²= FI ∙ FC.

c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF.

Lời giải:

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên ta có$\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}$ (1).

Tương tự với đường phân giác CF ta có$\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ (2).

Do tam giác ABC cân tại A nên BA = AC, kết hợp với (1) và (2) suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{FA}{FB}$

Do đó, theo định lí Thalès đảo ta có EF // BC. Suy ra ∆BIC ∽ ∆EIF.

b) Ta có$\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (do BE là đường phân giác của góc B)

$\widehat{BCF}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (do CF là đường phân giác của góc C)

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó,$\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$.

Hai tam giác BFI và CFB có góc F chung và$\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BFI ∽ ∆CFB (g.g).

Suy ra$\frac{FB}{FC}=\frac{FI}{FB}\Rightarrow F{B}^2=FI\cdot FC$ (đpcm).

c) Theo câu a) ta có$\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ hay$\frac{FB}{FA}=\frac{BC}{BA}$.

Ta có EF // BC (chứng minh trên), do đó

$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AF}\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{\left(AF+FB\right)}{AF}$$=1+\frac{FB}{FA}=1+\frac{BC}{BA}=1+\frac{3}{6}=\frac{3}{2}$.

Từ đó ta có$\frac{3}{FE}=\frac{3}{2}\Rightarrow FE=2$ cm.