Toán 8 Bài 23 (Kết nối tri thức): Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Giải Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Giải Toán 8 trang 15 Tập 2

Mở đầu trang 15 Toán 8 Tập 2: Hãy rút gọn biểu thức:

Vuông nói: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả là P = 0.

Tròn: Làm thế nào mà vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

Lời giải:

Vuông đã nhìn thấy các dấu đứng trước các phân thức, hai phân thức giống nhau có dấu trái nhau khi cộng lại sẽ bằng 0.

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

HĐ1 trang 15 Toán 8 Tập 2: Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: $\frac{2x+y}{x-y}+\frac{-x+3y}{x-y}$ .

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.

Lời giải:

Ta có: 2x + y + (– x + 3y) = x + 4y.

HĐ2 trang 15 Toán 8 Tập 2: Viết phân thức có tử thức là tổng các tử thức và mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho.

Lời giải:

$\frac{2x+y}{x-y}+\frac{-x+3y}{x-y}=\frac{x+4y}{x-y}$.

Giải Toán 8 trang 16 Tập 2

Luyện tập 1 trang 16 Toán 8 Tập 2: Tính các tổng sau:

a) $\frac{3x+1}{xy}+\frac{2x-1}{xy}$ ;

b) $\frac{3x}{x^2+1}+\frac{-3x+1}{x^2+1}$ .

Lời giải:

a) $\frac{3x+1}{xy}+\frac{2x-1}{xy}=\frac{3x+1+2x-1}{xy}=\frac{5x}{xy}=\frac{5}{y}$ ;

b) $\frac{3x}{x^2+1}+\frac{-3x+1}{x^2+1}=\frac{3x+(-3x+1)}{x^2+1}$$=\frac{3x-3x+1}{x^2+1}=\frac{1}{x^2+1}$ .

2. Cộng hai phân thức khác mẫu

HĐ3 trang 16 Toán 8 Tập 2: Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng $\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}$ .

Quy đồng mẫu hai phân thức đã cho.

Lời giải:

$\frac{1}{x}=\frac{y}{xy}$; $\frac{-1}{y}=\frac{-x}{xy}$ .

HĐ4 trang 16 Toán 8 Tập 2: Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng $\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}$ .

Lời giải:

$\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}$= $\frac{y}{xy}+\frac{-x}{xy}=\frac{y+(-x)}{xy}=\frac{y-x}{xy}$.

Luyện tập 2 trang 16 Toán 8 Tập 2: Tính tổng: $\frac{5}{2x^2(6x+y)}+\frac{3}{5xy(6x+y)}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{5}{2x^2(6x+y)}+\frac{3}{5xy(6x+y)}$

= $\frac{25y}{10x^{2}y(6x+y)}+\frac{6x}{10x^{2}y(6x+y)}=\frac{25y+6x}{10x^{2}y(6x+y)}$ .

3. Trừ hai phân thức

HĐ5 trang 16 Toán 8 Tập 2: Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính $\frac{x-1}{x+1}-\frac{2x+3}{x+1}$ .

Lời giải:

$\frac{x-1}{x+1}-\frac{2x+3}{x+1}=\frac{x-1-\left(2x+3\right)}{x+1}=\frac{x-1-2x-3}{x+1}=\frac{-x-4}{x+1}$

HĐ6 trang 16 Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu của hai phân thức $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{1}{x}$ ; trừ các tử thức của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$ .

Lời giải:

Quy đồng: $\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)};\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}$ .

$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$= $\frac{x}{x(x+1)}-\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{x-x-1}{x(x+1)}=\frac{-1}{x(x+1)}$ .

Giải Toán 8 trang 17 Tập 2

Luyện tập 3 trang 17 Toán 8 Tập 2: Thực hiện phép tính sau:

a) $\frac{3-2x}{x-1}-\frac{2+5x}{x-1}$ ;

b) $\frac{1}{4x^{2}y}-\frac{1}{6x{y}^2}$ .

Lời giải:

a) $\frac{3-2x}{x-1}-\frac{2+5x}{x-1}=\frac{3-2x-(2+5x)}{x-1}$$=\frac{3-2x-2-5x}{x-1}=\frac{1-7x}{x-1}$ .

b) $\frac{1}{4x^{2}y}-\frac{1}{6x{y}^2}=\frac{3y}{12x^2{y}^2}-\frac{2x}{12x^2{y}^2}=\frac{3y-2x}{12x^2{y}^2}$ .

4. Cộng trừ nhiều phân thức đại số

Giải Toán 8 trang 18 Tập 2

Luyện tập 4 trang 18 Toán 8 Tập 2:

Rút gọn biểu thức $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ .

Lời giải:

$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

$=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{-1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1-1}{x}+\frac{1-1}{y}+\frac{1}{z}=0+0+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}$

Luyện tập 5 trang 18 Toán 8 Tập 2: Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

$=\left(\frac{x}{x+1}+\frac{-x}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x-1}\right)=\frac{x-x}{x+1}+\frac{1-1}{x+1}=0+0=0$

Giải Toán 8 trang 19 Tập 2

Vận dụng trang 19 Toán 8 Tập 2: Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20 km, xe chạy trong thành phố với vận tốc x (km/h) (x > 0). Trên 50 km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55 km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê.

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc.

b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Lời giải:

a) Thời gian xe chạy trong thành phố là: $\frac{20}{x}$ (giờ).

Vận tốc của xe trên đường cao tốc là x + 55 (km/h).

Thời gian xe chạy trên đường cao tốc là: $\frac{50}{x+55}$ (giờ).

b) 15 phút = $\frac{1}{4}$ giờ

Tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê là:

$\frac{20}{x}+\frac{50}{x+55}+\frac{1}{4}$ = $\frac{4.20(x+55)+\mathrm{50.4.}x+x(x+55)}{4x(x+55)}=\frac{x^2+335x+4400}{4x(x+55)}$ (giờ).

Bài tập

Bài 6.20 trang 19 Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{x^2-3x+1}{2x^2}+\frac{5x-1-x^2}{2x^2}$ ;

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}$ ;

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x^2-3x+1}{2x^2}+\frac{5x-1-x^2}{2x^2}$

$=\frac{x^2-3x+1+5x-1-x^2}{2x^2}=\frac{2x}{2x^2}=\frac{1}{x}$.

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}=\frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{xy+y^2+x^2-xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)}$.

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}=\frac{x}{2(x-3)}+\frac{-9}{2x(x-3)}=\frac{x^2-9}{2x(x-3)}$

$=\frac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)}=\frac{x+3}{2x}$.

Bài 6.21 trang 19 Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$ ;

b) $\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}$ ;

c) $\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^3+1}$ .

Lời giải:

a) $\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$$=\frac{5-3x-(-2+5x)}{x+1}$

$=\frac{5-3x+2-5x}{x+1}=\frac{7-8x}{x+1}$.

b) $\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)}$.

c) $\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^3+1}$

$=\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$

$=\frac{3(x^2-x+1)-3x-2}{(x+1)(x^2-x+1)}$

$=\frac{3x^2-3x+3-3x-2}{(x+1)(x^2-x+1)}$

$=\frac{3x^2-6x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}$.

Bài 6.22 trang 19 Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+2}$ ;

b) $\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^2-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$ .

Lời giải:

a) $\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+2}$

$=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}\right)+\left(\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+2}\right)$

= $0+\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+0=\frac{-4}{(x+1)(x-1)}$$=\frac{-4}{x^2-1}$ .

b) $\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^2-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$

$=\left(\frac{2x-1}{x}+\frac{1-2x}{x}\right)+\left(\frac{1-x}{2x+1}+\frac{x-1}{2x+1}\right)+\left(\frac{3}{x^2-9}-\frac{3}{x+3}\right)$

$=\frac{2x-1+1-2x}{x}+\frac{1-x+x-1}{2x+1}+\frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

$=0+0+\frac{-3x+12}{(x-3)(x+3)}=\frac{-3x+12}{x^2-9}$.

Bài 6.23 trang 19 Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$ ;

b)

Lời giải:

a) $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$

$=\frac{{(x+2)}^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{-x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{x+2}{x-2}+\frac{-x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{5(x+2)-5x+4-x}{5(x-2)}$$=\frac{14-x}{5(x-2)}$.

b)

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}$

$=\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(\frac{3}{x+6}-\frac{3}{x+6}\right)+\left(\frac{x-2}{x+4}-\frac{x-2}{x+4}\right)$

$=\frac{x-1}{x^2+1}+0+0=\frac{x-1}{x^2+1}$.

Bài 6.24 trang 19 Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$ ;

b) $\frac{x}{{(x-y)}^2}+\frac{y}{y^2-x^2}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$

$=\frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{xyz}$

$=\frac{xz-zy+xy-xz+yz-xy}{xyz}$ = 0.

b)$\frac{x}{{(x-y)}^2}+\frac{y}{y^2-x^2}$

= $\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{{(x-y)}^2(x+y)}$

$=\frac{x^2+xy-xy+y^2}{{(x-y)}^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{{(x-y)}^2(x+y)}$.

Bài 6.25 trang 19 Toán 8 Tập 2: Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10 km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h).

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy.

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Lời giải:

a) Vận tốc khi xuôi dòng của tàu là 10 + x (km/h).

Vận tốc khi ngược dòng của tàu là 10 – x (km/h).

Thời gian khi tàu xuôi dòng là $\frac{15}{10+x}$ (giờ).

Thời gian khi tàu ngược dòng là $\frac{15}{10-x}$ (giờ).

Tổng thời gian tàu chạy là

$\frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x}=\frac{15(10-x)+15(10+x)}{(10-x)(10+x)}$$=\frac{300}{(10-x)(10+x)}$ (giờ).

b) Khi vận tốc dòng nước là 2 km/h, tức là x = 2 ta có:

Tổng thời gian tàu chạy là: $\frac{300}{(10-2)(10+2)}=\frac{300}{8.12}=\frac{25}{8}=3\frac{1}{8}$ (giờ).

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{x+y+x-y}{xy}=\frac{2x}{xy}=\frac{2}{y}\\ \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}\end{array}$

2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

3. Trừ hai phân thức

Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\frac{-C}{D}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B};\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$, trong đó $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$ là các phân thức bất kì.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^2-y^2}-\frac{y}{x+y}\\ =\frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}+\frac{2xy}{(x+y)(x-y)}-\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}\\ =\frac{x^2-xy+2xy-xy+y^2}{(x+y)(x-y)}\\ =\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\end{array}$

5. Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

Sơ đồ tư duy Phép cộng và phép trừ phân thức đại số