Toán 8 Bài 4 (Kết nối tri thức): Phép nhân đa thức

Giải Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức - Kết nối tri thức

Giải Toán 8 trang 19 Tập 1

Mở đầu trang 19 Toán 8 Tập 1:Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi MN = (x + 3y + 2)(x + y).

Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta thực hiện phép nhân đa thức M và N, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức M với từng hạng tử của đa thức N rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta thực hiện như sau:

MN = (x + 3y + 2)(x + y)

= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y

= x² + 3xy + 2x + xy + 3y² + 2y

= x² + 4xy + 2x + 3y² + 2y.

Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.

Luyện tập 1 trang 19 Toán 8 Tập 1:Nhân hai đơn thức:

a) 3x² và 2x³;

b) –xy và 4z³;

c) 6xy³ và –0,5x².

Lời giải:

a) 3x² . 2x³ = (3. 2)(x² . x³) = 6x⁵;

b) –xy . 4z³ = –4xyz³;

c) 6xy³ . (–0,5x²) = [6 . (–0,5)] (x . x²) y³ = –3x³y³.

Giải Toán 8 trang 20 Tập 1

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 1:Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân (5x²) . (3x² – x – 4).

Lời giải:

Ta có (5x²) . (3x² – x – 4) = 5x² . 3x² – 5x² . x – 5x² . 4

= 15x⁴ – 5x³ – 20x².

HĐ2 trang 20 Toán 8 Tập 1:Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân (5x²y) . (3x²y – xy – 4y).

Lời giải:

Ta có (5x²y) . (3x²y – xy – 4y) = 5x²y . 3x²y – 5x²y . xy – 5x²y . 4y

= 5x²y . 3x²y – 5x²y . xy – 5x²y . 4y

Luyện tập 2 trang 20 Toán 8 Tập 1:Làm tính nhân:

a) (xy) . (x² + xy – y²);

b) (xy + yz + zx) . (–xyz).

Lời giải:

a) (xy) . (x² + xy – y²) = xy . x² + xy . xy – xy . y²

= x³y + x²y² – xy³.

b) (xy + yz + zx) . (–xyz) = xy . (–xyz) + yz . (–xyz) + zx . (–xyz)

= –x²y²z – xy²z² – x²yz².

Vận dụng trang 20 Toán 8 Tập 1:Rút gọn biểu thức: x³(x + y) – x(x³ + y³).

Lời giải:

Ta có x³(x + y) – x(x³ + y³) = x³ . x + x³ . y – x³ . x – x . y³

= x⁴ + x³y – x⁴ – xy³ = x³y – xy³.

Giải Toán 8 trang 21 Tập 1

HĐ3 trang 21 Toán 8 Tập 1:Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:

(2x + 3) . (x² – 5x + 4).

Lời giải:

Ta có (2x + 3) . (x² – 5x + 4)

= 2x . x² – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . x² – 3 . 5x + 3 . 4

= 2x³ – 10x² + 8x + 3x² – 15x + 12

= 2x³ + (3x² – 10x²) + (8x – 15x) + 12

= 2x³ – 7x² – 7x + 12.

HĐ4 trang 21 Toán 8 Tập 1:Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²).

Lời giải:

Ta có (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²)

= 2x . x² – 2x . 5xy + 2x . 4y² + 3y . x² – 3y . 5xy + 3y . 4y²

= 2x³ – 10x²y + 8xy² + 3x²y – 15xy² + 12y³

= (2x³ + 12y³) + (3x²y – 10x²y) + (8xy² – 15xy²)

= 14y³ – 7x²y – 7xy².

HĐ5 trang 21 Toán 8 Tập 1:Thực hiện phép nhân:

a) (2x + y)(4x² – 2xy + y²);

b) (x²y² – 3)(3 + x²y²).

Lời giải:

a) (2x + y)(4x² – 2xy + y²)

= 2x . 4x² – 2x . 2xy + 2x . y² + y . 4x² – y . 2xy + y . y²

= 8x³ – 4x²y + 2xy² + 4x²y – 2xy² + y³

= 8x³ + (4x²y – 4x²y) + (2xy² – 2xy²) + y³

= 8x³ + y³.

b) (x²y² – 3)(3 + x²y²) = x²y² . 3 + x²y² . x²y² – 3 . 3 – 3 . x²y²

= 3x²y² + x⁴y⁴ – 9 – 3x²y² = x⁴y⁴ – 9.

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 1:Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:

P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Lời giải:

a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)

= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)

= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6

= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.

b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5

Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Bài 1.24 trang 21 Toán 8 Tập 1:Nhân hai đơn thức:

a) 5x²y và 2xy²;

b) $\frac{3}{4}xy$ và 8x³y³;

c) 1,5xy²z³ và 2x³y²z.

Lời giải:

a) 5x²y . 2xy² = (5. 2)(x² . x)(y . y²);

b) $\frac{3}{4}xy.8x^3{y}^3=\left(\frac{3}{4}.8\right)\left(x.x^3\right)\left(y.y^3\right)=6x^4{y}^4$ ;

c) 1,5xy²z³ . 2x³y²z = (1,5 . 2)(x . x³)(y² . y²)(z . z³) = 3x⁴y⁴z⁴.

Bài 1.25 trang 21 Toán 8 Tập 1:Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) (−0,5)xy² (2xy – x² + 4y);

b) $\left(x^{3}y-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}xy\right)6x{y}^3$

Lời giải:

a) (−0,5)xy² (2xy – x² + 4y) = (−0,5)xy² . 2xy + 0,5xy² . x² − 0,5xy² . 4y

= −x²y³ + 0,5x³y² − 2xy³;

b) $\left(x^{3}y-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}xy\right)6x{y}^3$

$=x^{3}y.6x{y}^3-\frac{1}{2}{x}^2.6x{y}^3+\frac{1}{3}xy.6x{y}^3$

$=6x^4{y}^4-3x^3{y}^3+2x^2{y}^4$

Bài 1.26 trang 21 Toán 8 Tập 1:Rút gọn biểu thức: x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1).

Lời giải:

Ta có x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1)

= x . x² – x . y – x² . x – x² . y + xy . x – xy . 1

= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – (xy + xy) = –2xy.

Bài 1.27 trang 21 Toán 8 Tập 1:Làm tính nhân:

a) (x² – xy + 1)(xy + 3);

b) $\left(x^2{y}^2-\frac{1}{2}xy+2\right)\left(x-2y\right)$

Lời giải:

a) (x² – xy + 1)(xy + 3)

= x² . xy – xy . xy + 1 . xy + x² . 3 – xy . 3 + 1 . 3

= x³y – x²y² + xy + 3x² – 3xy + 3

= x³y – x²y² + (xy – 3xy) + 3x² + 3

= x³y – x²y² – 2xy + 3x² + 3.

b) $\left(x^2{y}^2-\frac{1}{2}xy+2\right)\left(x-2y\right)$

$=x^2{y}^2.x-\frac{1}{2}xy.x+2.x-x^2{y}^2.2y+\frac{1}{2}xy.2y-2.2y$

$=x^3{y}^2-\frac{1}{2}{x}^{2}y+2x-2x^2{y}^3+x{y}^2-4y$

Bài 1.28 trang 21 Toán 8 Tập 1:Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.

Lời giải:

Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

= x . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7

= 2x² – 15 – 2x² + 6x + x + 7

= (2x² – 2x²) + (6x + x) + (7 – 15) = 7x – 7.

Bài 1.29 trang 21 Toán 8 Tập 1:Chứng minh đẳng thức sau: (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).

Lời giải:

Ta có:

• (2x + y)(2x² + xy – y²)

= 2x . 2x² + 2x . xy – 2x . y² + y . 2x² + y . xy – y . y²

= 4x³ + 2x²y – 2xy² + 2x²y + xy² – y³

= 4x³ + (2x²y + 2x²y) + (xy² – 2xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

• (2x – y)(2x² + 3xy + y²)

= 2x . 2x² + 2x . 3xy + 2x . y² – y . 2x² – y . 3xy – y . y²

= 4x³ + 6x²y + 2xy² – 2x²y – 3xy² – y³

= 4x³ + (6x²y – 2x²y) + (2xy² – 3xy²) – y³

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

Do đó (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²)

= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.

Vậy (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).

Lý thuyết Phép nhân đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$