Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau

Giải Toán 11 Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp

Video Giải Bài tập 1 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?

Lời giải:

a) Cách 1: Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là một cách sắp xếp 6 chữ số hay một hoán vị của 6 phần tử:

Vậy có P₆ = 6! = 720 (số)

Cách 2: Số tự nhiên có thể có là $\overline{abcdef}$, với $a,b,c,d,e,f\in \left.1;2;3;4;5;6\right\}$ và a, b, c, d, e, f  đôi một khác nhau.

a có 6 cách

$b\ne a$ nên có 5 cách chọn

$c\ne b,a$ nên có 4 cách chọn

$d\ne c,b,a$ nên có 3 cách chọn

$e\ne d,c,b,a$ nên có 2 cách chọn

$f\ne e,d,c,b,a$ nên có 1 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số

b) Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng $\overline{abcdef}$, với a, b, c, d, e, f $\in \left.1;2;3;4;5;6\right\}$, có kể đến thứ tự, f chia hết cho 2 .

f chia hết cho 2 nên $f\in \{2;4;6\}$ có 3 cách.

$e\ne f$ nên có 5 cách chọn.

$d\ne e,f$ nên có 4 cách chọn.

$c\ne f,e,d$ nên có 3 cách chọn.

$b\ne f,e,d,c$ nên có 2 cách chọn.

$a\ne f,e,d,c,b$ nên có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.

Do đó có: 720 – 360 = 360 số tự nhiên lẻ.

Cách khác:

Với $f\in \left.2,4,6\right\}$ nên có 3 cách chọn

5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự.

Theo quy tắc nhân có 3.5! = 360 (số chẵn).

Tương tự ta cũng có 360 số lẻ.

Vậy có 360 số chẵn và 360 số lẻ.

c)  Gọi số tự nhiên cần lập có dạng là $\overline{abcdef}$, với $a,b,c,d,e,f\in \left.1;2;3;4;5;6\right\}$

Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: a = 4, b = 3

Có 1 cách chọn a và 1 cách chọn b.

c < 2 nên c = 1, có 1 cách chọn c.

Số cách chọn d, e, f  là số hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách.

Do đó có 1.1.1.3! = 6 số.

Trường hợp 2: a = 4, b < 3.

Có 1 cách chọn a.

b < 3 nên , có 2 cách chọn b.

Số cách chọn c, d, e, f là số hoán vị của 4 chữ số nên có 4! cách.

Do đó có 2.4! = 48 số.

Trường hợp 3: a < 4.

Vì a < 4 nên  và có 3 cách chọn a.

Số cách chọn các chữ số b, c, d, e, f là số hoán vị của 5 chữ số còn lại nên có 5! cách.

Do đó có 3.5! = 360 số.

Vậy có 6 + 48 + 360 = 414 số bé hơn 432 000.