Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là cấp số cộng? a) un=3n+1

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 2 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) u_n = 3n + 1;

b) u_n = 4 ‒ 5n;

c) $u_n=\frac{2n+3}{5};$

d) $u_n=\frac{n+1}{n};$

e) $u_n=\frac{n}{2^n};$

g) u_n = n² + 1.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u_n = 3n + 1; và u_n+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.

Do đó u_n+1 – u_n = 3n + 4 – (3n + 1) = 3.

Vậy u_n = 3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = 3.

b) Ta có: u₁ = 4 ‒ 5.1 = ‒1; u_n = 4 ‒ 5n và u_n+1 = 4 – 5(n + 1) = −1 – 5n.

Do đó u_n+1 – u_n = −1 – 5n – (4 ‒ 5n) = −5.

Vậy u_n = 4 ‒ 5n là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = ‒1 và công sai d = ‒5.

c) Ta có $u_1=\frac{2\cdot 1+3}{5}=1;$ $u_n=\frac{2n+3}{5}$ và $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+3}{5}=\frac{2n+5}{5}$

Do đó $u_{n+1}–u_n=\frac{2n+5}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}$

Vậy $u_n=\frac{2n+3}{5}$ là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai $d=\frac{2}{5}.$

d) Xét $u_n=\frac{n+1}{n}$ có: $u_1=\frac{1+1}{1}=2;$ $u_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2};$ $u_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_n=\frac{n+1}{n}$ không phải là cấp số cộng.

e) Xét $u_n=\frac{n}{2^n}$ có: $u_1=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2};$ $u_2=\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2};$ $u_3=\frac{3}{2^3}=\frac{3}{8};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_n=\frac{n}{2^n}$ không phải là cấp số cộng.

g) Xét u_n = n² + 1 có u₁ = 1² + 1 = 2; u₂ = 2² + 1 = 5; u₃ = 3² + 1 = 10.

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy u_n = n² + 1 không phải là cấp số cộng.