Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt

Giải Toán 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng

Bài 7 trang 81 Toán lớp 10 Hình học:

d₁: 4x – 2y + 6 = 0 và d₂: x – 3y + 1 = 0.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$\cos \phi =\frac{\left.a_1.a_2+b_1.b_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

d₁ có VTPT $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-2\right)$

d₂ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-3\right)$

Ta có:

$\cos \phi =\frac{\left.4.1+\left(-2\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{20}.\sqrt{10}}$

Suy ra $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hay $\phi =45°$.

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng d và d’ cóvectơ pháp tuyếnlần lượt là:$\overrightarrow{n}=(a;b)$và$\overrightarrow{n\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$.Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left.cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right|=\frac{\left.a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

- Góc giữa hai đường thẳng là góc$\alpha$được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo$0^o\le \alpha \le {90}^o$. Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng$0^o$.

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta lấy điểm O thuộc 1 trong 2 đương thẳng sau đó vẽ 1 đường thẳng đi qua O và song song với 2 đường còn lại.

Nếu vector u là vector chỉ phương của đường thẳng a, đồng thời vector v là vectorchỉ phương của đường thẳng b, góc giữa (u, v) =$\alpha$thì ta có thể suy ra góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng$\alpha$($0°\le \alpha \le 90°$)

II. Công thức góc giữa hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng d và d’ cóvectơ chỉ phươnglần lượt là:$\overrightarrow{u}=(a;b)$và$\overrightarrow{u\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$.Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right|=\frac{\left.a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ cóvectơ pháp tuyếnlần lượt là:$\overrightarrow{n}=(a;b)$và$\overrightarrow{n\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$.Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left.cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right|=\frac{\left.a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d,d\text{'})=\left.\frac{k-k\text{'}}{1+k.k\text{'}}\right|$