Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; –1) và C(6; 2)

Giải Toán 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng

Bài 3 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; –1) và C(6; 2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, CA.

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải:

a)

*) Phương trình đường AB

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;-5\right)$

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;-5\right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(5;2\right)$ làm VTPT

+) Đường thẳng AB đi qua A(1; 4) nên ta có phương trình tổng quát:

5(x − 1) + 2(y − 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

*) Phương trình đường AC

+) Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)$

Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow{n_2}=\left(2;5\right)$ làm VTPT

+) Đường thẳng AC đi qua A(1;4) nên ta có phương trình tổng quát:

2(x − 1) + 5(y − 4) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

*) Phương trình đường BC

+) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow{n_3}=\left(-3;3\right)$ hay $\overrightarrow{n_4}=\left(1;-1\right)$ làm VTPT

+) Đường thẳng BC đi qua B(3; –1) nên ta có phương trình tổng quát:

1(x − 3) − 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

b)

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.

Nên AH nhận $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH: 3(x − 1) + 3(y − 4) = 0

Suy ra 3x + 3y – 15 = 0

Hay x + y – 5 = 0.

+) Gọi M là trung điểm BC ta có

$\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{3+6}{2}=\frac{9}{2}\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$

Do đó $M=\left(\frac{9}{2};\frac{1}{2}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(\frac{7}{2};-\frac{7}{2}\right)=\frac{7}{2}\left(1;-1\right)$

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và nhận $\overrightarrow{u}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}=\left(1;-1\right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$ làm VTPT

PTTQ của AM: 1(x − 1) + 1(y − 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.