Hãy chứng minh nhận xét trên

Giải Toán 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng

Hoạt động 5 trang 74 Toán lớp 10 Hình học:

Lời giải:

*) Nhận xét: Nếu đường thẳng $\Delta$ có phương trình là ax + by + c = 0 thì  có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)$

*) Chứng minh:

 +) Chọn $\begin{array}{l}N\left(0;\frac{-c}{b}\right)\in \Delta \\ M\left(\frac{-c}{a};0\right)\in \Delta \end{array}$ suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{c}{a};\frac{-c}{b}\right)$

+) Ta thấy: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN}=a.\frac{c}{a}+b.\left(-\frac{c}{b}\right)=c-c=0$

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$

Mà $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=a.b-b.a=0$

Suy ra $\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)$ là vectơ chỉ phương.