Tìm các giá trị của tham số m để

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

Bài 7 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m-3\right)x^2+2mx-m$là một tam thức bậc hai âm với mọi $x\in ℝ$;

b) $f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+2\left(m+3\right)x+5\left(m-3\right)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm;

c) Phương trình $2x^2+\left(3m-1\right)x+2\left(m+1\right)=0$vô nghiệm,

d) Bất phương trình $2x^2+2\left(m-3\right)x+3\left(m^2-3\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $ℝ$.

Lời giải:

a) f ( x ) là một tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ℝkhi và chỉ khi a = m – 3 < 0 và

∆’ < 0.

+) Ta có: m – 3 < 0 khi và chỉ khi m < 3.

+) ∆’ = m² + (m – 3).m = 2m² – 3m < 0 khi và chỉ khi 0 < m < $\frac{3}{2}$

Vậy để $f\left(x\right)=\left(m-3\right)x^2+2mx-m$là một tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ℝ thì

0 < m < $\frac{3}{2}$.

b) f ( x ) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi m – 2 ≠ 0 và ∆’ ≥ 0.

+) Ta có m – 2 ≠ 0 khi và chỉ khi m ≠ 2

+) Ta có ∆’ = (m + 3)² – 5.(m – 3).(m – 2) = –4m² + 31m – 21 ≥0 tức là

$\frac{3}{4}$≤ m ≤ 7.

Vậy $\frac{3}{4}$≤ m < 2 và 2 < m ≤ 7 thì f(x) là một tam thức bậc hai có nghiệm.

c) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

∆ = ( 3m – 1 )² – 16( m + 1 ) < 0 hay 9m² – 22m – 15 < 0 tức là $\frac{-5}{9}$< m < 3.

Vậy$\frac{-5}{9}$< m < 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2.(m – 3)x + 3(m² – 3) có a = 2 > 0 và ∆’ = ( m – 3 )² – 6( m² – 3 ) = m² – 6m + 9 – 6m² + 18 = – 5m² – 6m + 27

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ℝ khi a = 2 > 0 và ∆’ = –5m² – 6m + 27 ≤ 0 tức là m ≤ –3 hoặc m ≥ $\frac{9}{5}$.

Vậy m ≤ –3 hoặc m ≥ $\frac{9}{5}$.