Rút gọn biểu thức A = (sin x + sin 2x + sin 3x)/(cos x + cos 2x + cos 3x) ta được kết quả là

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ ta được kết quả là:

A. tan x.

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Đáp án đúng: C

*Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi trong lượng giác để biến đổi thực hiện phép tính

*Lời giải:

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phép biến đổi lượng giác cần nắm:

+) Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2cosa+b2cosa−b2cosa−cosb=−2sina+b2sina−b2sina+sinb=2sina+b2cosa−b2sina−sinb=2cosa+b2sina−b2

+) Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$