Cho sin a = 2/3 với pi/2 < a < pi. Tính: a) cos a, tan a; b) sin (a + pi/4), cos (a - 5pi/6), tan (a + 2pi/3)

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin a=\frac{2}{3}$  với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ . Tính:

a) cos a, tan a;

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right),\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right),\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$ ;

c) sin 2a, cos 2a.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$  nên cos a < 0, do đó từ sin² a + cos² a = 1, suy ra

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ta có $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$$=\sin a\cos \frac{\pi }{4}+\cos a\sin \frac{\pi }{4}$$=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{6}$ .

$\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{5\pi }{6}+\sin a\sin \frac{5\pi }{6}$$=\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

$\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$$=\frac{\tan a+\tan \frac{2\pi }{3}}{1-\tan a\tan \frac{2\pi }{3}}=\frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\left(-\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).\left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{7}$.

c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{2}{3}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{5}}{9}$ .

$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2.{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2-1=\frac{1}{9}$.