Rút gọn biểu thức P= [(x^2+2x)/(x^3-1)]-(1/x^2-x)-(1/x^2+1) (x khác 0, x khác 1)

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Bài tập 6.24 trang 10 SBT Toán 8 Tập 2:

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x^2+2x}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x^2+x+1}$ (x ≠ 0, x ≠ 1).

b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của của x để P cũng nhận giá trị nguyên

Lời giải:

a) Ta có:

$P=\frac{x^2+2x}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x^2+x+1}$ (x ≠ 0, x ≠ 1)

$=\frac{x^2+2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{1}{x^2+x+1}$

$=\frac{\left(x^2+2x\right)x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{\left(x^2+2x\right)x-\left(x^2+x+1\right)-x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{x^3+2x^2-x^2-x-1-x^2+x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\frac{x^3-1}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\frac{1}{x}$

b) Để P nguyên thì 1 ⋮ x, tức là x ∈ Ư(1).

Suy ra x ∈ Ư(1) = {1; –1}.

Mà điều kiện xác định của P là x ≠ 0, x ≠ 1 nên ta loại trường hợp x = 1.

Do đó, chỉ có một giá trị x = –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.