Cho biểu thức P = [(2x-6)/(x^3-3x^2-x+3)]+(2x^2/1-x^2)-(6/x-3) (x khác 3, x khác 1, x khác –1)

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Bài tập 6.23 trang 10 SBT Toán Tập 2: Cho biểu thức

$P=\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$ (x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1).

a) Rút gọn phân thức $\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}$.

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P=a+\frac{b}{x-3}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}$$=\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x^3-3x^2\right)-\left(x-3\right)}$

$=\frac{2\left(x-3\right)}{x^2\left(x-3\right)-\left(x-3\right)}$$=\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)}$$=\frac{2}{x^2-1}$

b) $P=\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$

$=\frac{2}{x^2-1}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$

$=\frac{-2}{1-x^2}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$

$=\left(\frac{-2}{1-x^2}+\frac{2x^2}{1-x^2}\right)-\frac{6}{x-3}$

$=\frac{-2\left(1-x^2\right)}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}$

$=-2-\frac{6}{x-3}=-2+\frac{-6}{x-3}$

Do đó, P có thể viết dưới dạng $P=a+\frac{b}{x-3}$ trong đó a = –2; b = –6.

c) Vì $P=-2-\frac{6}{x-3}$nên để P là số nguyên thì $\frac{6}{x-3}$ phải là số nguyên.

Suy ra 6 ⋮ (x – 3) hay (x – 3) ∈ Ư(6).

Khi đó (x – 3) ∈ {1; 2; 3; 6; –1; –2; –3; –6}.

Suy ra x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 1; 0; –3}.

Loại x = 1 vì không thỏa mãn điều kiện x ≠ 3, x ≠ 1, x ≠ –1.

Vậy x ∈ {4; 5; 6; 9; 2; 0; –3} thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.