Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t)

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_1\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm) và $x_2\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$(cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Lời giải:

a) Ta có:

x(t) = x₁(t) + x₂(t) = $3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$

= $3\cdot \left.\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)\right]$

= $3\cdot 2\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)-\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}$

= $6\text{cos}\frac{\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{6}}{2}\text{cos}\frac{\frac{\pi }{2}}{2}=6\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)\text{cos}\frac{\pi }{4}$

= $6\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right).$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là $x\left(t\right)=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)$.

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là $A=3\sqrt{2}\text{ cm}$ và pha ban đầu là $\phi =\frac{\pi }{12}$.