Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) ${\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right);$

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x+\frac{3\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) ${\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right)={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(\text{cos}2x+\text{cos}\frac{2\pi }{3}\right)$

$={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}x-\frac{1}{2}\right)={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2{\text{sin}}^{2}x\right)={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{4}-{\text{sin}}^{2}x=\frac{1}{4}.$

Vậy giá trị của biểu thức ${\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\frac{1}{2}\left.\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\frac{1}{2}\left.\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x+\frac{11\pi }{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left.\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}+\pi \right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}$

$=\frac{1}{2}\left.\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)-\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}=\text{cos}\frac{7\pi }{12}.$

Vậy giá trị của biểu thức $\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.