Luyện tập 4 trang 24 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Luyện tập 4 trang 24 Toán 11 Tập 2:Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$;

b) 2log(2x + 1) > 3.

Lời giải:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

Bất phương trình đã cho tương đương với ${\log }_{7^{-1}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

⇔ – log_7­(x + 1) > log₇(2 – x)

⇔ log₇(x + 1)^{– 1} > log₇(2 – x)

⇔ (x + 1)^{– 1} > 2 – x (do 7 > 1).

$\iff \frac{1}{x+1}-2+x>0$

$\iff \frac{1+\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x+1}>0$

$\iff \frac{x^2-x-1}{x+1}>0$ (*)

Mà – 1 < x < 2 nên x + 1 > 0, do đó (*) ⇔ x² – x – 1 > 0

Kết hợp với điều kiện ta được

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};2\right)$.

b) 2log(2x + 1) > 3

Điều kiện: 2x + 1 > 0 ⇔ x > $\frac{-1}{2}$.

Bất phương trình đã cho tương đương với $\log \left(2x+1\right)>\frac{3}{2}$

$\iff 2x+1>{10}^{\frac{3}{2}}\iff 2x>\sqrt{{10}^3}-1\iff x>\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$.

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(\frac{10\sqrt{10}-1}{2};+\infty \right)$.