Giải Toán 12 trang 9 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 9 Toán 12 Tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) $f(x)=x^3-6x^2+9x$

b) $g(x)=\frac{1}{x}$

Lời giải:

a) $f(x)=x^3-6x^2+9x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$

$f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x$ đồng biến trên các khoảng ($-\mathrm{\infty }$; 1) và (0; $+\mathrm{\infty }$), nghịch biến trên khoảng (1; 3)

b) $g(x)=\frac{1}{x}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

$g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$

Vì $x^2>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$ nên $g^{\prime }(x)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $g(x)=\frac{1}{x}$ nghịch biến trên các khoảng ($-\mathrm{\infty }$; 0) và (0; $+\mathrm{\infty }$)

Thực hành 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=3x-sinx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$f^{\prime }(x)=3-\cos x$

Ta có: $-1\le \cos x\le 1$ nên $2\le 3-\cos x\le 4$. Vì vậy $f^{\prime }(x)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

=> Hàm số $f\left(x\right)=3x-sinx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$ với $0\le t\le 8$

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Lời giải:

$h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324$

$h^{\prime }(t)=0\iff [\begin{array}{l}t=3\\ t=6\end{array}$

Bảng biến thiên:

Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m

Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút

Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút