Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 64Tập 1

Vận dụng 4 trang 64 Toán 12 Tập 1:Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc $\widehat{BAC}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;6;8\right)$ ; $\overrightarrow{AC}=\left(8;10;3\right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left(4;4;-5\right)$ .

Khi đó: $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+6^2+8^2}=2\sqrt{29}$;

$\left.\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{8^2+{10}^2+3^2}=\sqrt{173}$;

$\overrightarrow{BC}=\sqrt{4^2+4^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{57}$.

b) Ta có $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left.\overrightarrow{AB}\right|.\left.\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{4.8+6.10+8.3}{2\sqrt{29}.\sqrt{173}}=\frac{119}{2\sqrt{5017}}$ $\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 35°2\text{'}$.

Bài tập

Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1:Tính:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}=\left(5;2;-4\right),\overrightarrow{b}=\left(4;-2;2\right)$ .

b) $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$ với $\overrightarrow{c}=\left(2;-3;4\right),\overrightarrow{d}=\left(6;5;-3\right)$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5.4+2.\left(-2\right)+\left(-4\right).2=8$ .

b) $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=2.6+\left(-3\right).5+4.\left(-3\right)=-15$ .

Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(0;1;3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-2;3;1\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{b}-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

Có $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}=\left(0;\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$ ; $2\overrightarrow{b}=\left(-4;6;2\right)$.

Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{b}-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$ là $\left(-4-0;6-\frac{3}{2};2-\frac{9}{2}\right)$ hay $\left(-4;\frac{9}{2};-\frac{5}{2}\right)$ .

Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 0) và C(2; −1; 3).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-2;4\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;-3;3\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^2+1^2+1^2}+\sqrt{0^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}+\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+3^2}$

$=\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{19}$

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA.

Tọa độ điểm M là

$M\left(\frac{2+3}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-1+0}{2}\right)$ hay $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2};\frac{-1}{2}\right)$ .

Tọa độ điểm N là

$N\left(\frac{3+2}{2};\frac{2-1}{2};\frac{0+3}{2}\right)$ hay $N\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ .

Tọa độ điểm P là

$P\left(\frac{2+2}{2};\frac{1-1}{2};\frac{-1+3}{2}\right)$ hay $P\left(2;0;1\right)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

$G\left(\frac{2+3+2}{3};\frac{1+2-1}{3};\frac{-1+0+3}{3}\right)$ hay $G\left(\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM".

• MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải:

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) +) Vì O là trung điểm của MM' nên

$\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_O-x_M\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_O-y_M\\ z_{M^{\text{'}}}=2z_O-z_M\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2.0-1\\ y_{M^{\text{'}}}=2.0-2\\ z_{M^{\text{'}}}=2.0-3\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=-1\\ y_{M^{\text{'}}}=-2\\ z_{M^{\text{'}}}=-3\end{array}$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H $\in$ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có $\overrightarrow{MH}=\left(x-1;y-2;-3\right)$ .

Vì MH $\perp$ (Oxy) $\Rightarrow \begin{array}{l}MH\perp Ox\\ MH\perp Oy\end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l}\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{i}=0\\ \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{j}=0\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}x-1=0\\ y-2=0\end{array}$$\Rightarrow \begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

$\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=2x_H-x_M\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2y_H-y_M\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=2z_H-z_M\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.1-1\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.2-2\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.0-3\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=1\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=-3\end{array}$

Vậy M"(1; 2; −3).

+) Vì K $\in$ Oy nên K(0; y; 0)$\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(-1;y-2;-3\right)$

Vì $MK\perp Oy$ nên $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{j}=0$ $\iff y-2=0\iff y=2$ . Do đó K(0; 2; 0).

Vì K là trung điểm của MM"' nên

$\begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2x_K-x_M\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2y_K-y_M\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2z_K-z_M\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.0-1\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.2-2\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.0-3\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=-1\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=-3\end{array}$

Vậy M'''(−1; 2; −3).

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho ba điểm A(3; 3; 3), B(1; 1; 2) và C(5; 3; 1).

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Lời giải:

a) Vì M $\in$ Oy nên M(0; y; 0).

Vì M cách đều hai điểm B, C nên MB = MC hay MB² = MC²

$\iff 1^2+{\left(1-y\right)}^2+2^2=5^2+{\left(3-y\right)}^2+1^2$

$\iff 4y=29\iff y=\frac{29}{4}$

Vậy $M\left(0;\frac{29}{4};0\right)$ .

b) Vì N $\in$ (Oxy) nên N(x; y; 0).

Vì N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC hay NA² = NB² = NC²

Vậy $N\left(2;\frac{13}{4};0\right)$ .

Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho các điểm A(−1; −1; 0), B(0; 3; −1), C(−1; 14; 0), D(−3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

Ta có$\overrightarrow{AB}=\left(1;4;-1\right)$,$\overrightarrow{AC}=\left(0;15;0\right)$,$\overrightarrow{DC}=\left(2;8;-2\right)$.

Vì$\overrightarrow{DC}=\left(2;8;-2\right)=2\left(1;4;-1\right)=2\overrightarrow{AB}$nên$\overrightarrow{DC}$và$\overrightarrow{AB}$cùng phương.

Mặt khác$\overrightarrow{AB}$và$\overrightarrow{AC}$không cùng phương nên CD // AB.

Do đó ABCD là hình thang.

Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

DoABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành.

Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ $\iff \begin{array}{l}1-1=x_C-2\\ -1-0=y_C-1\\ 1-1=z_C-2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_C=2\\ y_C=0\\ z_C=2\end{array}$.

Vậy C(2; 0; 2).

Ta có$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ $\iff \begin{array}{l}2-1=4-x_{D^{\text{'}}}\\ 1=5-y_{D^{\text{'}}}\\ 2-1=-5-z_{D^{\text{'}}}\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}{x}_{D^{\text{'}}}=3\\ y_{D^{\text{'}}}=4\\ z_{D^{\text{'}}}=-6\end{array}$.

Vậy D'(3; 4; −6).

Ta có$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ $\iff \begin{array}{l}1-1=3-x_{A^{\text{'}}}\\ -1-0=4-y_{A^{\text{'}}}\\ 1-1=-6-z_{A^{\text{'}}}\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=3\\ y_{A^{\text{'}}}=5\\ z_{A^{\text{'}}}=-6\end{array}$.

Vậy A'(3; 5; −6).

Ta có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$$\iff \begin{array}{l}3-3=4-x_{B^{\text{'}}}\\ 4-5=5-y_{B^{\text{'}}}\\ -6+6=-5-z_{B^{\text{'}}}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}=4\\ y_{B^{\text{'}}}=6\\ z_{B^{\text{'}}}=-5\end{array}$.

Vậy B'(4; 6; −5).

Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 1:Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}\left(20;30;-10\right)$ (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng (Hình 7) khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}=\left(150;200;100\right)$ (đơn vị: m).

Lời giải:

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ = 20.150 + 30.200 + (-10).100 = 8000 J.