Anonymous

Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 Chân trời sáng tạo

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 12 trang 64Tập 1

Vận dụng 4 trang 64 Toán 12 Tập 1:Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc $\hat{B A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (4; 6; 8)$ ; $\vec{A C} = (8; 10; 3)$ ; $\vec{B C} = (4; 4; - 5)$ .

Khi đó: $\vec{A B}| = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 8^{2}} = 2 \sqrt{29}$ ;

$\vec{A C}| = \sqrt{8^{2} + 10^{2} + 3^{2}} = \sqrt{173}$ ;

$\vec{B C} = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{57}$ .

b) Ta có $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{\vec{A B}| . \vec{A C}|} = \frac{4.8 + 6.10 + 8.3}{2 \sqrt{29} . \sqrt{173}} = \frac{119}{2 \sqrt{5017}}$ $\Rightarrow \hat{B A C} \approx 35 ° 2'$ .

Bài tập

Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1:Tính:

a) $\vec{a} . \vec{b}$ với $\vec{a} = (5; 2; - 4), \vec{b} = (4; - 2; 2)$ .

b) $\vec{c} . \vec{d}$ với $\vec{c} = (2; - 3; 4), \vec{d} = (6; 5; - 3)$ .

Lời giải:

a) $\vec{a} . \vec{b} = 5.4 + 2. (- 2) + (- 4) .2 = 8$ .

b) $\vec{c} . \vec{d} = 2.6 + (- 3) .5 + 4. (- 3) = - 15$ .

Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho hai vectơ $\vec{a} = (0; 1; 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 3; 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $2 \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a}$ .

Lời giải:

Có $\frac{3}{2} \vec{a} = (0; \frac{3}{2}; \frac{9}{2})$ ; $2 \vec{b} = (- 4; 6; 2)$ .

Tọa độ của vectơ $2 \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a}$ là $(- 4 - 0; 6 - \frac{3}{2}; 2 - \frac{9}{2})$ hay $(- 4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})$ .

Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 0) và C(2; −1; 3).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 1), \vec{A C} = (0; - 2; 4), \vec{B C} = (- 1; - 3; 3)$ .

Vì $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} + \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}}$

$= \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{19}$

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA.

Tọa độ điểm M là

$M (\frac{2 + 3}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1 + 0}{2})$ hay $M (\frac{5}{2}; \frac{3}{2}; \frac{- 1}{2})$ .

Tọa độ điểm N là

$N (\frac{3 + 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}; \frac{0 + 3}{2})$ hay $N (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

Tọa độ điểm P là

$P (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 - 1}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})$ hay $P (2; 0; 1)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

$G (\frac{2 + 3 + 2}{3}; \frac{1 + 2 - 1}{3}; \frac{- 1 + 0 + 3}{3})$ hay $G (\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ .

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM".

• MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải:

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) +) Vì O là trung điểm của MM' nên

$\begin{array}{l} x_{M^{'}} = 2 x_{O} - x_{M} \\ y_{M^{'}} = 2 y_{O} - y_{M} \\ z_{M^{'}} = 2 z_{O} - z_{M} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{M^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{M^{'}} = 2.0 - 2 \\ z_{M^{'}} = 2.0 - 3 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{M^{'}} = - 1 \\ y_{M^{'}} = - 2 \\ z_{M^{'}} = - 3 \end{array}$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H $\in$ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có $\vec{M H} = (x - 1; y - 2; - 3)$ .

Vì MH $⊥$ (Oxy) $\Rightarrow \begin{array}{l} M H ⊥ O x \\ M H ⊥ O y \end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l} \vec{M H} . \vec{i} = 0 \\ \vec{M H} . \vec{j} = 0 \end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{array}$ $\Rightarrow \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

$\begin{array}{l} x_{M^{''}} = 2 x_{H} - x_{M} \\ y_{M^{''}} = 2 y_{H} - y_{M} \\ z_{M^{''}} = 2 z_{H} - z_{M} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{M^{''}} = 2.1 - 1 \\ y_{M^{''}} = 2.2 - 2 \\ z_{M^{''}} = 2.0 - 3 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{M^{''}} = 1 \\ y_{M^{''}} = 2 \\ z_{M^{''}} = - 3 \end{array}$

Vậy M"(1; 2; −3).

+) Vì K $\in$ Oy nên K(0; y; 0) $\Rightarrow \vec{M K} = (- 1; y - 2; - 3)$

Vì $M K ⊥ O y$ nên $\vec{H K} . \vec{j} = 0$ $\Leftrightarrow y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2$ . Do đó K(0; 2; 0).

Vì K là trung điểm của MM"' nên

$\begin{array}{l} x_{{M^{''}}^{'}} = 2 x_{K} - x_{M} \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 y_{K} - y_{M} \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2 z_{K} - z_{M} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2.2 - 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 3 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{{M^{''}}^{'}} = - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = - 3 \end{array}$

Vậy M'''(−1; 2; −3).

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho ba điểm A(3; 3; 3), B(1; 1; 2) và C(5; 3; 1).

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Lời giải:

a) Vì M $\in$ Oy nên M(0; y; 0).

Vì M cách đều hai điểm B, C nên MB = MC hay MB² = MC²

$\Leftrightarrow 1^{2} + {(1 - y)}^{2} + 2^{2} = 5^{2} + {(3 - y)}^{2} + 1^{2}$

$\Leftrightarrow 4 y = 29 \Leftrightarrow y = \frac{29}{4}$

Vậy $M (0; \frac{29}{4}; 0)$ .

b) Vì N $\in$ (Oxy) nên N(x; y; 0).

Vì N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC hay NA² = NB² = NC²

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Vậy $N (2; \frac{13}{4}; 0)$ .

Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho các điểm A(−1; −1; 0), B(0; 3; −1), C(−1; 14; 0), D(−3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

Ta có $\vec{A B} = (1; 4; - 1)$ , $\vec{A C} = (0; 15; 0)$ , $\vec{D C} = (2; 8; - 2)$ .

Vì $\vec{D C} = (2; 8; - 2) = 2 (1; 4; - 1) = 2 \vec{A B}$ nên $\vec{D C}$ và $\vec{A B}$ cùng phương.

Mặt khác $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương nên CD // AB.

Do đó ABCD là hình thang.

Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

DoABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành.

Ta có $\vec{A D} = \vec{B C}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 1 - 1 = x_{C} - 2 \\ - 1 - 0 = y_{C} - 1 \\ 1 - 1 = z_{C} - 2 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{C} = 2 \\ y_{C} = 0 \\ z_{C} = 2 \end{array}$ .

Vậy C(2; 0; 2).

Ta có $\vec{D C} = \vec{D^{'} C^{'}}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 - 1 = 4 - x_{D^{'}} \\ 1 = 5 - y_{D^{'}} \\ 2 - 1 = - 5 - z_{D^{'}} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{D^{'}} = 3 \\ y_{D^{'}} = 4 \\ z_{D^{'}} = - 6 \end{array}$ .

Vậy D'(3; 4; −6).

Ta có $\vec{A D} = \vec{A^{'} D^{'}}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 1 - 1 = 3 - x_{A^{'}} \\ - 1 - 0 = 4 - y_{A^{'}} \\ 1 - 1 = - 6 - z_{A^{'}} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{A^{'}} = 3 \\ y_{A^{'}} = 5 \\ z_{A^{'}} = - 6 \end{array}$ .

Vậy A'(3; 5; −6).

Ta có $\vec{A^{'} D^{'}} = \vec{B^{'} C^{'}}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 3 - 3 = 4 - x_{B^{'}} \\ 4 - 5 = 5 - y_{B^{'}} \\ - 6 + 6 = - 5 - z_{B^{'}} \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x_{B^{'}} = 4 \\ y_{B^{'}} = 6 \\ z_{B^{'}} = - 5 \end{array}$ .