Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

DoABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành.

Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ $\iff \begin{array}{l}1-1=x_C-2\\ -1-0=y_C-1\\ 1-1=z_C-2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_C=2\\ y_C=0\\ z_C=2\end{array}$.

Vậy C(2; 0; 2).

Ta có$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ $\iff \begin{array}{l}2-1=4-x_{D^{\text{'}}}\\ 1=5-y_{D^{\text{'}}}\\ 2-1=-5-z_{D^{\text{'}}}\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}{x}_{D^{\text{'}}}=3\\ y_{D^{\text{'}}}=4\\ z_{D^{\text{'}}}=-6\end{array}$.

Vậy D'(3; 4; −6).

Ta có$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ $\iff \begin{array}{l}1-1=3-x_{A^{\text{'}}}\\ -1-0=4-y_{A^{\text{'}}}\\ 1-1=-6-z_{A^{\text{'}}}\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=3\\ y_{A^{\text{'}}}=5\\ z_{A^{\text{'}}}=-6\end{array}$.

Vậy A'(3; 5; −6).

Ta có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$$\iff \begin{array}{l}3-3=4-x_{B^{\text{'}}}\\ 4-5=5-y_{B^{\text{'}}}\\ -6+6=-5-z_{B^{\text{'}}}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}=4\\ y_{B^{\text{'}}}=6\\ z_{B^{\text{'}}}=-5\end{array}$.

Vậy B'(4; 6; −5).