Giải Toán 12 trang 62 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 62Tập 1

Thực hành 4 trang 62 Toán 12 Tập 1:Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3;−1; 0). Tìm tọa độ:

a) Các điểm M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN;

b) Trọng tâm G của tam giác M'N'P'.

Lời giải:

a) Tọa độ trung điểm M' của cạnh NP là

$M^{\text{'}}\left(\frac{1-3}{2};\frac{2-1}{2};\frac{3+0}{2}\right)$ hay $M^{\text{'}}\left(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ .

Tọa độ trung điểm N' của cạnh MP là

$N^{\text{'}}\left(\frac{2-3}{2};\frac{1-1}{2};\frac{3+0}{2}\right)$ hay $N^{\text{'}}\left(\frac{-1}{2};0;\frac{3}{2}\right)$ .

Tọa độ trung điểm P' của cạnh MN là

$P^{\text{'}}\left(\frac{2+1}{2};\frac{1+2}{2};\frac{3+3}{2}\right)$ hay $P^{\text{'}}\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};3\right)$ .

b) Tọa độ trọng tâm G là:

$G\left(\frac{-1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{3};\frac{\frac{1}{2}+0+\frac{3}{2}}{3};\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+3}{3}\right)$ hay $G\left(0;\frac{2}{3};2\right)$ .

Vận dụng 3 trang 62 Toán 12 Tập 1:Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm A, S, B, C.

b) Trung điểm M của SB và trung điểm N của SC.

c) Trọng tâm G của tam giác SBC.

Lời giải:

a)

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC nên AO là đường cao.

Suy ra $AO=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và OB = OC = $\frac{a}{2}$ .

Vì $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và $OC=\frac{a}{2}$ nên $\overrightarrow{OC}=\frac{a}{2}\overrightarrow{i}$ . Suy ra $C\left(\frac{a}{2};0;0\right)$ .

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{i}$ ngược hướng và $OB=\frac{a}{2}$ nên $\overrightarrow{OB}=-\frac{a}{2}\overrightarrow{i}$ . Suy ra $B\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$ .

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $\overrightarrow{OA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}$ . Suy ra $A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$

Gọi I là hình chiếu của S trên Oz.

Ta có OI = SA.

Vì OI và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng và OI = a nên $\overrightarrow{OI}=a\overrightarrow{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành có: $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OI}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}+a\overrightarrow{k}$ .

Do đó $S\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$ .

b) Tọa độ trung điểm M của SB là

$M\left(\frac{0-\frac{a}{2}}{2};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2};\frac{a+0}{2}\right)$ hay $M\left(-\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{2}\right)$ .

Tọa độ trung điểm N của SC là

$N\left(\frac{0+\frac{a}{2}}{2};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2};\frac{a+0}{2}\right)$ hay $N\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{2}\right)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác SBC là:

$G\left(\frac{0-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{3};\frac{0+\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{3};\frac{0+a+0}{3}\right)$ hay $G\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{3}\right)$ .