Chứng minh rằng nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’

Giải Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Video Giải Bài tập 3 trang 24 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 24 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Gọi phép dời hình đó là f.

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do f  biến AB, AC thành A’B’, A’C’ nên f biến M, N thành M’, N’ là trung điểm của của A’B’, A’C’

Vậy f biến các trung tuyến CM, BN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến C’M’, B’N’ của tam giác A’B’C’.

Do đó f biến G là giao điểm của CM, BN thành G' là giao điểm của C’M’, B’N’ hay G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Từ đó suy ra f biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’.

Cách khác:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

B, D, C thẳng hàng suy ra B’, D’, C’ thẳng hàng.

A, G, D thẳng hàng suy ra A’, G’, D’ thẳng hàng.

$B’D’=BD=\frac{BC}{2}=\frac{B’C’}{2}$  suy ra D’ là trung điểm B’C’.

$A’G’=AG=2.\frac{AD}{3}=2.\frac{A’D’}{3}$ suy ra G’ là trọng tâm $\Delta A’B’C’$.

Vậy phép dời hình f  biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của $\Delta A’B’C’$ (điều phải chứng minh).