Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có đường cao HH'=2a. Cho biết AB = 2a

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 9 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đường cao $H{H}^{\text{'}}=2a$ . Cho biết AB = 2a, $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=a$ . Gọi B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:

a) Khối chóp cụt đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

b) Khối lăng trụ $A{B}_1{C}_1.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

Lời giải:

a)

Áp dụng công thức: $V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{SS\text{'}}+S\text{'}\right)$ ,

Do ABC, A¢B¢C¢ là các tam giác đều nên: , thay vào công thức trên ta có:

$V=\frac{1}{3}.2a.\left(a^2\sqrt{3}+\sqrt{a^2\sqrt{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$

$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\sqrt{\frac{3a^4}{4}}\right)$$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)$

$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)=\frac{2}{3}a.\frac{7\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{7a^3\sqrt{3}}{6}$.

b)Áp dụng công thức: $V\text{'}=S\text{'}.h\text{'}$ , với $S\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},h\text{'}=2a.$

Ta có: $V\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.2a.=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .