Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. a) Biết P(A) = 0,4 và P(A ngang B) = 0,3

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài 4 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau.

a) Biết P(A) = 0,4 và P($\overline{A}B$) = 0,3. Tính xác suất của các biến cố B và $A\cup B$.

b) Biết P($\overline{A}B$) = 0,4 và P($A\cup B$) = 0,9. Tính xác suất của các biến cố A, B và AB.

Lời giải:

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và B; A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Ta có $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.

• $\overline{A}$ và B độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,6}}=\mathrm{0,5}$.

•A và B độc lập nên $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)$

$=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,4.0,5}=\mathrm{0,7}$.

b) Vì $\overline{A}$ và B độc lập nên $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=\mathrm{0,4}$

Hay $P\left(B\right)=\frac{\mathrm{0,4}}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{\mathrm{0,4}}{1-P\left(A\right)}$.

Khi đó $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=\mathrm{0,9}$

$\iff P\left(A\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{1-P\left(A\right)}-P\left(A\right).\frac{\mathrm{0,4}}{1-P\left(A\right)}=\mathrm{0,9}$

$\iff \frac{5P\left(A\right)+2}{5}=\mathrm{0,9}$

$\iff P\left(A\right)=\mathrm{0,5}$.

Với$P\left(A\right)=\mathrm{0,5}\Rightarrow P\left(B\right)=\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,8}$; $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\mathrm{0,5.0,8}=\mathrm{0,4}$.