Bài 9.46 trang 111 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 9 trang 110

Bài 9.46 trang 111 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a)$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$, từ đó suy ra$AE=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}$;

b) ∆DFC ∽ ∆ABC;

c) DF = DB.

Lời giải:

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Suy ra BD . AC = DC . AB. (*)

Xét BD . (AB + AC) = BD . AB + BD . AC

= BD . AB + DC . AB (do (*))

= AB . (BD + DC)

= AB . BC.

Vậy BD . (AB + AC) = AB . BC. Suy ra$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$. (1)

Hai tam giác CED vuông tại E và tam giác CAB vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆CED ∽ ∆CAB.

Suy ra$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow \frac{AC-AE}{AC}=\frac{BC-BD}{BC}\Rightarrow 1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{DB}{BC}$.

Do đó,$\frac{AE}{AC}=\frac{DB}{BC}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}$, do đó$AE=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}$.

b) Hai tam giác DFC vuông tại D và tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn C chung nên

∆DFC ∽ ∆ABC.

c) Vì ∆DFC ∽ ∆ABC nên$\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow DF=\frac{AB\cdot DC}{AC}$. (3)

Từ (*) ta có$DB=\frac{DC\cdot AB}{AC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra DB = DF.