Bài 9.44 trang 111 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 9 trang 110

Bài 9.44 trang 111 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB.

a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD.

Lời giải:

a) Ta có$\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=90°$$\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90°$(do tam giác ACH vuông ở H).

Suy ra$\widehat{DAH}=\widehat{ACH}$(cùng phụ với$\widehat{HAC}$ ).

Tam giác HDA vuông tại D và tam giác AHC vuông tại H có$\widehat{\widehat{DAH}=\widehat{ACH}}$nên ΔHDA ∽ ΔAHC .

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta có

BC²= AB²+ AC²= 4²+ 5²= 41.

Suy ra$BC=\sqrt{41}$cm.

Diện tích tam giác ABC là:$S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 5}{2}=10$ (cm²).

Lại có$S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}$, do đó AH ∙ BC = 2 . 10 = 20, suy ra AH =$\frac{20}{BC}$ =$\frac{20}{\sqrt{41}}$(cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ACH ta có AC²= AH²+ CH².

Do đó, CH²= AC²– AH²= 4²–${\left(\frac{20}{\sqrt{41}}\right)}^2=\frac{256}{41}$.

Suy ra$CH=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

Vì ΔHDA ∽ ΔAHC nên$\frac{HD}{AH}=\frac{HA}{AC}\Rightarrow HD=\frac{A{H}^2}{AC}=\frac{\frac{400}{41}}{4}=\frac{100}{41}$ (cm).

Ta có BH = BC – HC =$\sqrt{41}-\frac{16}{\sqrt{41}}=\frac{25}{\sqrt{41}}$ (cm).