Bài 9.45 trang 111 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 9 trang 110

Bài 9.45 trang 111 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH (H.9.76).

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN.

c) Tính diện tích tam giác AMN.

Lời giải:

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

AH²+ HB²= AB² (định lý Pythagore)

Suy ra AB²= 12²+ 16²= 400.

Suy ra AB = 20 cm.

Tương tự, có: AC²= AH²+ CH² (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC).

Suy ra AC²= 12²+ 9²= 225.

Suy ra AC = 15 cm.

Có BC = CH + BH = 9 + 16 = 25 cm.

Trong tam giác ABC, nhận thấy AB²+ AC²= BC²(do 20²+ 15²= 25²= 625).

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

b) Xét tam giác AHB có:

M là trung điểm của AH

N là trung điểm của BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AHB.

Do đó, MN // AB. Mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A).

Suy ra MN ⊥ AC.

Xét ΔACN có AH ⊥ CN (gt), MN ⊥ AC (cmt), AH ∩ MN = {M}.

Vậy M là trực tâm của ΔACN, do đó CM ⊥ AN.

c) Ta có S_AMN=$\frac{AM\cdot HN}{2}=\frac{\frac{AH}{2}\cdot \frac{BH}{2}}{2}=\frac{AH\cdot BH}{8}=\frac{12\cdot 16}{8}=24$(cm²).