Bài 4 trang 105 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 4 trang 105 Toán 11 Tập 2:Dãy số (u_n) cho bởi công thức số hạng tổng quát nào dưới đây là dãy số tăng?

A.$u_n=\frac{1}{n^2+1}$.

B.$u_n=2^{-n}$.

C.$u_n={\text{log}}_{\frac{1}{2}}n$.

D.$u_n=\frac{n}{n+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

+) $u_n=\frac{1}{n^2+1}$.

Xét u_{n+ 1} – u_n =

, với mọi n$\in$ℕ^*.

Do đó$u_n=\frac{1}{n^2+1}$là dãy số giảm.

+)$u_n=2^{-n}$. Ta có$u_n=2^{-n}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Xét$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}}=2^{-(n+1)+n}=2^{-1}=\frac{1}{2}<1$.

Do đó$u_n=2^{-n}$là dãy số giảm.

+)$u_n={\text{log}}_{\frac{1}{2}}n$.

Có a =$\frac{1}{2}$nên$u_n={\text{log}}_{\frac{1}{2}}n$luôn nghịch biến vớin$\in$ℕ^*.

Do đó $u_n={\text{log}}_{\frac{1}{2}}n$ là dãy số giảm.

+)$u_n=\frac{n}{n+1}$.

Xét u_{n+ 1} – u_n = $\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}$ $=\frac{{\left(n+1\right)}^2-n\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$ $=\frac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$, với mọi n$\in$ℕ^*.

Do đó$u_n=\frac{n}{n+1}$là dãy số tăng.