Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1)

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 6 trang 160 Toán lớp 10 Đại số

Bài 6 trang 160 Toán lớp 10 Đại số:

a) Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1)

b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc đồ thị của các đồ thị của các hàm số sau

y = 2x(x+2) ( C₁)

y = (x+2)(x+1)(C₂)

Tính tọa độ giao điểm A và B của (C₁) và (C₂).

c) Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax² + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và độ thị của nó đi qua A và B.

Lời giải

a) f(x) = 2x.(x + 2) - (x + 2)(x + 1) = 2x² + 4x - (x² + 3x + 2) = x² + x - 2

Tam thức x² + x – 2 có hai nghiệm x₁ = -2 và x₂ = 1, hệ số a = 1 > 0.

Vậy:

+ f(x) > 0 nếu x > x₂ = 1 hoặc x < x₁ = -2, hay x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; + ∞)

+ f(x) < 0 nếu x₁ < x < x₂ hay x ∈ (-2; 1)

+ f(x) = 0 nếu x = -2 hoặc x = 1.

b)

* Hàm số y = 2x(x + 2) = 2x² + 4x có đồ thị (C₁) là parabol có:

+ Tập xác định: D = R

+ Đỉnh I₁(-1; -2)

+ Trục đối xứng: x = -1

+ Giao điểm với trục tung tại gốc tọa độ.

+ Giao điểm với trục hoành tại O(0; 0) và M(-2; 0).

+ Bảng biến thiên:

* Hàm số y = (x + 2)(x+1) = x² + 3x + 2 có đồ thị (C₂) là parabol có:

+ Tập xác định D = R.

+ Đỉnh $I\left(\frac{-3}{2};\frac{-1}{4}\right)$

+ Trục đối xứng: x = $\frac{-3}{2}$

+ Giao với trục tung tại D(0; 2)

+ Giao với trục hoành tại M(-2; 0) và E(-1; 0)

+ Bảng biến thiên

* Đồ thị:

* Tìm tọa độ giao điểm:

Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số:

Nhìn vào đồ thị thấy (C₁) cắt (C₂) tại A(1; 6) và B ≡ M(-2; 0)

Cách 2: Tính:

Hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là nghiệm của phương trình:

2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1)

⇔ (x + 2).2x – (x + 2)(x + 1) = 0

⇔ (x + 2).(2x – x – 1) = 0

⇔ (x + 2).(x – 1) = 0

⇔ x = -2 hoặc x = 1.

+ x = -2 ⇒ y = 0. Ta có giao điểm B(-2; 0)

+ x = 1 ⇒ y = 6. Ta có giao điểm A(1; 6).

c)

+ Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(1; 6) và B(-2; 0)

⇔ Tọa độ A và B thỏa mãn phương trình y = ax² + bx + c

$\iff \begin{array}{l}a+b+c=0\\ 4a-2b+c=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b+x=6-a\\ -2b+c=-4a\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3b=6+3a\\ c=-4a+2b\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=2+a\\ c=4-2a\end{array}$

+ Ta có bảng biến thiên của hàm số y = ax² + bx + c:

Nếu a < 0

Nếu a > 0

Nhận thấy y đạt giá trị lớn nhất bằng 8

$\iff \begin{array}{l}\frac{4ac-b^2}{4a}=8\\ a<0\end{array}\iff \begin{array}{l}4ac-b^2=32a\\ a<0\end{array}$

Vì đồ thị hàm số đi qua A và B nên ta có:

$\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ a+b+c=6\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3a-3b=-6\\ c=6-a-b\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}a-b=-2\\ c=6-\left(a+b\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=a+2\\ c=6-\left(a+a+2\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=a+2\\ c=4-2a\end{array}$

Thay b = 2 + a và c = 4 – 2a vào biểu thức 4ac – b² = 32a ta được:

4.a.(4 – 2a) – (2 + a)² = 32a

⇔ 16a – 8a² – (a² + 4a + 4) = 32a

⇔ 16a– 8a² – a² – 4a - 4 – 32a = 0

⇔ -9a² - 20a - 4 = 0

⇔ a = -2 hoặc a = $\frac{-2}{9}$

Nếu a = -2 ⇒ b = 0, c = 8, hàm số y = -2x² + 8

Nếu a = $\frac{-2}{9}$⇒ b = $\frac{16}{9}$, c = $\frac{40}{9}$, hàm số $y=\frac{-2}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x+\frac{40}{9}$