Rút gọn các biểu thức sau (1 + sin4a - cos4a)/(1 + sin4a + cos4a)

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 8 trang 161 Toán lớp 10 Đại số

Bài 8 trang 161 Toán lớp 10 Đại số:

a) $\frac{1+\sin 4a-\cos 4a}{1+\sin 4a+\cos 4a}$

b) $\frac{1+\cos a}{1-\cos a}.{\tan }^2\frac{a}{2}-{\cos }^{2}a$

c) $\frac{\cos 2x-\sin 4x-\cos 6x}{\cos 2x+\sin 4x-\cos 6x}$

* Phương pháp giải

Để rút gọn biểu thức sin, cos, tan, bạn có thể sử dụng các công thức sau:

Công thức tổng hai góc: sin (a+b) = sinacosb + cosasinb

Công thức chênh lệch hai góc: sin (a-b) = sinacosb - cosasinb

Công thức bù hai góc: sin (π/2-a) = cosa

Công thức đảo ngược: sin (-a) = -sin (a)

Công thức Pythagoras: sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1

*Lời giải:

a) $\frac{1+\sin 4a-\cos 4a}{1+\sin 4a+\cos 4a}$

= $\frac{\left(1-\cos 4a\right)+\sin 4a}{\left(1-\cos 4a\right)+\sin 4a}$

= $\frac{2{\sin }^{2}2a+2\sin 2a.\cos 2a}{2.{\cos }^{2}2a+2.\sin 2a.\cos 2a}$

$=\frac{2.\sin 2a.\left(\sin 2a+\cos 2a\right)}{2.\cos 2a.\left(\sin 2a+\cos 2a\right)}$

= $\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\tan 2a$

b) $\frac{1+\cos a}{1-\cos a}.{\tan }^2\frac{a}{2}-{\cos }^{2}a$

$=\frac{2.{\cos }^2\frac{a}{2}}{2{\sin }^2\frac{a}{2}}.\frac{{\sin }^2\frac{a}{2}}{{\cos }^2\frac{a}{2}}-{\cos }^{2}a$

= $1-{\cos }^{2}a={\sin }^{2}a$

c) $\frac{\cos 2x-\sin 4x-\cos 6x}{\cos 2x+\sin 4x-\cos 6x}$

= $\frac{\left(\cos 2x-\cos 6x\right)-\sin 4x}{\left(\cos 2x-\cos 6x\right)+\sin 4x}$

$=\frac{2\sin 2x.\sin 4x-\sin 4x}{2\sin 2x.\sin 4x+\sin 4x}$

(vì $\sin \left(-2x\right)=-\sin 2x$)

$=\frac{\sin 4x\left(2\sin 2x-1\right)}{\sin 4x\left(2\sin 2x+1\right)}$

$=\frac{2\sin 2x-1}{2\sin 2x+1}$

* Cách giải bài toán rút gọn đẳng thức lượng giác

Để rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức và đẳng thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt.