Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Câu hỏi 4 trang 159 Toán lớp 10 Đại số: Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$

Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá trị của m để tam thức sau luôn âm.

$f\left(x\right)=-2x^2+3x+1-m$

Lời giải:

Định lí: Tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$ $\left(a\ne 0\right)$ có biệt thức $\Delta =b^2-4ac$

- Nếu $\Delta <0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x$\in ℝ$

- Nếu $\Delta =0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x$\ne \frac{-b}{2a}$

- Nếu $\Delta >0$ thì f(x) có hai nghiệm $x_1;x_2\left(x_1<x_2\right)$

f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂

f(x) trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$

Áp dụng: $f\left(x\right)=-2x^2+3x+1-m$ có hệ số a = -2 < 0

Biệt thức: $\Delta =b^2-4ac=3^2-4.(-2).(1-m)=17-8m$

Ta có a = -2 < 0 nên tam thức f(x) luôn âm (tức f(x) < 0, $\forall x\in ℝ$) khi:

$\Delta <0\iff 17-8m<0$

$\iff -8m<-17\iff m>\frac{17}{8}$