Chứng minh các bất đẳng thức sau

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 4 trang 160 Toán lớp 10 Đại số

Bài 4 trang 160 Toán lớp 10 Đại số:

a) $5\left(x-1\right)<x^5-1<5x^4\left(x-1\right)$ nếu x – 1 > 0

b) $x^5+y^5-x^{4}y-x{y}^4\ge 0$, biết rằng $x+y\ge 0$

c) $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5$, biết rằng a, b, c cùng lớn hơn $\frac{-1}{4}$ và a + b + c = 1.

Lời giải

a) Ta có: x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Lại có: x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x⁵ > x⁴ > x³ > x² > x > 1

⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

hay 5 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < 5x⁴

⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) < 5x⁴.(x – 1)

hay 5.(x – 1) < x⁵ – 1 < 5x⁴.(x – 1) (đpcm)

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ = (x⁵ - x⁴y) - (xy⁴ - y⁵)

= x⁴.(x – y) – y⁴.(x – y)

= (x⁴ – y⁴).(x – y)

= (x² + y²)(x² – y²)(x – y)

= (x² + y²).(x + y)(x – y)(x – y)

= (x² + y²)(x + y)(x – y)²

Mà x² + y² ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y)² ≥ 0

⇒ x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ ≥ 0.

c) Ta có: $a>\frac{-1}{4}\iff 4a>-1\iff 4a+1>0$

Tương tự. 4b +1 >0 và 4c +1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt{4a+1}$ và 1 ta có:

$\sqrt{4a+1}=\sqrt{4a+1}.1\le \frac{4a+1+1}{2}=2a+1$

Chứng minh tương tự ta có:

$\sqrt{4b+1}\le \frac{4b+1+1}{2}=2b+1$

$\sqrt{4c+1}\le \frac{4c+1+1}{2}=2c+1$

Do đó,

 

$=2\left(a+b+c\right)+3=2.1+3=5$

Dấu “=” xảy ra khi

$\begin{array}{l}4a+1=1\\ 4b+1=1\\ 4c+1=1\\ a,b,c\ge \frac{-1}{4}\\ a+b+c=1\end{array}\iff \begin{array}{l}a=b=c=0\\ a+b+c=1\end{array}$

Không có giá trị nào của a, b, c thỏa mãn hệ trên nên dáu “=” của BĐT không xảy ra.

Vậy $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5$