Cho phương trình : x^2 - 4mx +9(m - 1)^2 = 0

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 3 trang 160 Toán lớp 10 Đại số

Bài 3 trang 160 Toán lớp 10 Đại số:

a) Xem xét với các giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm?

b) Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m.

c) Xác định giá trị của m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4.

Lời giải

a) Xét: x² - 4mx + 9.(m – 1)² = 0 (1)

Δ’ = (2.m)² – 9.(m – 1)² 

= 4m² – 9.(m² – 2m + 1)

= -5m² + 18m – 9

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0

⇔ -5m² + 18m – 9 ≥ 0

⇔ 5m² - 18m + 9 ≤ 0

⇔ (5m – 3)(m – 3) ≤ 0

⇔ $\frac{3}{5}$≤ m ≤ 3.

Vậy đểu phương trình có nghiệm thì $\frac{3}{5}$≤ m ≤ 3.

b) Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của (1) nên theo định lý Vi – ét ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4m(*)\\ x_1.x_2=9{\left(m-1\right)}^2\text{ (**)}\end{array}$

Mối liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Từ (*) ta có: $m=\frac{x_1+x_2}{4}$

Thay vào (**) ta được:

$x_1.x_2=9.{\left(\frac{x_1+x_2}{4}-1\right)}^2$

c) Ta có: $x_1+x_2=4m$

Để $x_1-x_2=4$

Ta có: $x_1=x_2+4$$\Rightarrow x_2+4+x_2=4m$

$\iff 2x_2+4=4m\Rightarrow x_2=2\left(m-1\right)$'

$\Rightarrow x_1=2.\left(m+1\right)$

Lại có: $x_1.x_2=9{\left(m-1\right)}^2$ nên:

2(m + 1).(2m – 1) = 9.(m – 1)²

^{$\iff 4m^2-4=9m^2-18m+9$}

^{$\iff 5m^2-18m+13=0$}

^{$\iff \begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{13}{5}\end{array}$}

Thử lại:

+ m = 1, (1) trở thành x² – 4x = 0 có hai nghiệm x = 0; x = 4 có hiệu bằng 4

+ m = $\frac{13}{5}$, (1) trở thành $x^2-\frac{52}{5}x+\frac{576}{25}=0$ có hai nghiệm x = 7,2 và x = 3,2 có hiệu bằng 4.

Vậy m = 1 hoặc m = $\frac{13}{5}$