Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 11 trang 161 Toán lớp 10 Đại số

Bài 11 trang 161 Toán lớp 10 Đại số: Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có

a) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ($\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ cùng khác $\frac{\pi }{2}$)

b) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A.sin B.sin C

Lời giải

Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.

⇒ C = π - (A + B); A + B = π - C

a) Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C

= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C

= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C

= tan A. tan B. tan C

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C

= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))

= 2.sin C. cos (A – B) - 2.sin C. cos (A + B)

= 2.sin C.[cos (A – B) - cos (A + B)]

= 2.sin C.[-2sinA. sin(- B)]

= 2.sin C. 2.sin A. sin B ( vì sin(- B)= - sinB )

= 4. sin A. sin B. sin C