HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

HĐ 3 trang 57 Toán 10 tập 1: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$có cùng độ dài bằng $\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: $\left.k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left.k\right|\left.t\overrightarrow{u}\right|=\left.k\right|\left.t\right|\left.\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$và $\left.\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left.k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left.\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$có cùng độ dài bằng $\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt ≥ 0 $\iff \begin{array}{l}k\ge 0\\ t\ge 0\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}k\le 0\\ t\le 0\end{array}$

+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≥ 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≤ 0 thì vectơ k($t\overrightarrow{u}$) ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng ngược hướng với $t\overrightarrow{u}).$

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt < 0 $\iff \begin{array}{l}k>0\\ t<0\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}k<0\\ t>0\end{array}$

+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k > 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k > 0 t < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k < 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k < 0 và t > 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Hay hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.