Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Lời giải

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{KA}$và $\overrightarrow{KB}$cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra vecto $\overrightarrow{MK}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{MB}$và thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

b)

Cách 1:

Ta có:

$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right)+\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right)=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}\right)$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$(theo câu a) do đó $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OK}$

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}$

Theo câu a ta có $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)$

Do đó 

$\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

Vì M là trung điểm của AB nên