Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Lời giải

Ta có: 

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$(1)

Ta có: 

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA}\right)=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$

Lại có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

N là trung điểm của DC, với điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$

Suy ra $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$