Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; r)

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 5 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d.

Lời giải:

a) Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Xét ΔMAC và ΔMDB có:

$\widehat{C}=\widehat{B}$ ( 2 góc nội tiếp  cùng chắn cung AD).

$\widehat{M}$chung

Suy ra: hai tam giác MAC và MDB đồng dạng với nhau.

$\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$

⇒ MA.MB = MC.MD (đpcm).

b) Giả sử đường thẳng MO cắt mặt cầu tại P và Q.

Theo kết quả phần a) ta cùng có:

MA.MB = MP.MQ

Mà MP.MQ = (MO – OP)(MO + OQ)

= (d – r)(d + r) = d² – r².

Vậy MA.MB = d² – r².