Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 4 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

Lời giải:

* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P. Ta chứng minh J nằm trên trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC)

⇒ IJ ⊥ (ABC)

Ta có:$JM\perp AB;JI\perp AB\Rightarrow IM\perp AB$

(định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có:

$IN\perp BC;IP\perp AC$ (1)

Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:

$\widehat{JIM}=\widehat{JIN}=\widehat{JIP}={90}^0$

IJ chung

JN = JM  = JP = R

Do đó: ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)

⇒ IN = IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Ngược lại, lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt tại M, N và P.

Ta có: $IM\perp AB;IN\perp BC;IP\perp AC$ (3)

Mặt khác; IM = IN = IP = r.

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)

⇒ JM = JN = JP (4)

Từ (3) và (4) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.