Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r)

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Hoạt động 2 trang 45 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng $\frac{r}{2}$.

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Lời giải:

a)

Đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) là đường tròn tâm H:

Xét tam giác OAH vuông tại H có OA = r; $OH=\frac{r}{2}$

$\Rightarrow HA=\sqrt{O{A}^2-\text{}O{H}^2}=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\frac{r\sqrt{3}}{2}$.

b)

Xét tam giác OHA vuông tại H ta có:

$HA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{r^2-a^2}$

Xét tam giác OKB vuông tại K ta có:

$KB=\sqrt{O{B}^2-O{K}^2}=\sqrt{r^2-b^2}$

Mà 0 < a < b < r nên 0 < r² - b² < r² - a²

⇒ $\sqrt{r^2-b^2}<\sqrt{r^2-a^2}$  hay KB < HA.

Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).