Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 8 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

Lời giải:

Cho tứ diện ABCD.

Gọi mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với các cạnh của hình tứ diện đã cho lần lượt tại M, N, P, Q, R và S.

* Ta chứng minh: AM = AR = AQ.

Do mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, AC và AD lần lượt tại M; R và Q nên :

$OM\perp AB;OR\perp AC;OQ\perp AD$

Xét ba tam giác OAM; OAR và OAQ có:

$\begin{array}{l}\widehat{OMA}=\widehat{ORA}=\widehat{OQA}={90}^0\\ OAchung\end{array}$

OM = OR = OQ = R

Suy ra: ∆OAM = ∆OAR = ∆OAQ ( ch- cgv)

Suy ra: AM = AR = AQ = a

* Chứng minh tương tự ta có:

BM = BN = BS = b

CP = CN = CR = c.

DP = DQ = DS = d

Ta có:

AM = AR = AQ = a

BM = BN = BS = b

CP = CN = CR = c

DP = DQ = DS = d

Suy ra:

AB + CD = (AM + MB) + (CP + DP)

= a + b + c + d

AC + BD =  (AR + CR) + (BS + SD)

= a + b + c + d

AD + BC = (AQ + DQ) + (BN + CN)

= a + b + c + d.

Do đó, AB + CD = AC + BD = AD + BC.