Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 1 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

Lời giải:

+ Gọi O là trung điểm của AB.

Tam giác AMB là vuông tại M có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên : 

$OM\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=AO=BO=\frac{AB}{2}$

Mà AB cố định,  điểm O cố định nên M thuộc mặt cầu tâm O, bán kính là $R\text{\hspace{0.17em}}=\frac{AB}{2}$

+ Ngược lại, xét mặt cầu $\left(O;\frac{AB}{2}\right)$ với O là trung điểm của AB.

Vì A; B thuộc mặt cầu suy ra:    

$OA=OB=\frac{AB}{2}$   (1)

Lấy điểm M bất kì thuộc mặt cầu này.

Suy ra: $OM=\frac{AB}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$OM\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=AO=BO=\frac{AB}{2}$

⇒ Tam giác MAB vuông tại M.

Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M trong không gian luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới 1 góc vuông là mặt cầu $\left(O;\frac{AB}{2}\right)$.