Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 10 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học: 

Lời giải:

* Gọi M là trung điểm của tam giác SAB.

Tam giác SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên ta có: $SM=MA=MB=\frac{AB}{2}$

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

* Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt // SC và Mt là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Trong mp(Mt, SC), đường trung trực của SC cắt Mt tại điểm I.

Ta có: IS = IC (1)

Và IS = IB = IA (2).

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = IS

Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

$R=IS=\sqrt{I{M}^2+\text{\hspace{0.17em}}S{M}^2}\begin{array}{l}SM=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{S{A}^2+\text{}S{B}^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}{2}\\ IM=SN=\frac{SC}{2}=\frac{c}{2}\end{array}$

Vậy $R=\sqrt{\frac{a^2+b^2+\text{}{c}^2}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+\text{}{c}^2}$.