Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Hoạt động 3 trang 48 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.

b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương.

Lời giải:

a) Tâm O của mặt cầu là giao điểm của các đường chéo.

Bán kính mặt cầu là $OA=\frac{1}{2}AC\text{'}$

Đường chéo hình vuông cạnh a là $AC=\sqrt{A{B}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}B{C}^2}=a\sqrt{2}$

Xét tam  giác vuông ACC’ vuông tại C có:

$A\text{}C\text{'}=\sqrt{A{C}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CC{\text{'}}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2+\text{}{a}^2}=a\sqrt{3}$

Do đó: $OA=\frac{1}{2}AC\text{'}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương cạnh a là $R\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Không có mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c) Tâm mặt cầu tiếp xúc 6 mặt của hình lập phương là trung điểm I của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là $r=\frac{1}{2}A\text{}A\text{'}=\frac{a}{2}$.