Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c

Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài 7 trang 49 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên.

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD

= OA’ = OB’ = OC’=  OD’ $=\frac{AC\text{'}}{2}$

Vì AC’ là đường chéo của hình hộp chữ nhật nên: $AC\text{'}=\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2+\text{\hspace{0.17em}}{c}^2}$

Suy ra: OA = OB = OC = OD

= OA’ = OB’ = OC’=  OD’ = $\frac{\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2+\text{}{c}^2}}{2}$

Suy ra, tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là điểm O  và bán kính $R=\frac{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2+\text{}{c}^2}}{2}$.

b) Mặt cầu (O; R) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến là đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, bán kính của đường tròn (C) là :

$r=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{b^2+\text{\hspace{0.17em}}{c}^2}}{2}$.