Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1; 1) và đường trong tâm I bán kính 2

Giải Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Video Giải Bài tập 3 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1; 1) và đường trong tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45^o và phép vị tự tâm O, tỉ số  $\sqrt{2}$.

Lời giải:

Gọi $\left(I_1;R_1\right)=Q_{\left(0;{45}^{°}\right)}(I;R)$ (Phép quay đường tròn tâm I , bán kính R qua tâm O một góc 45^o)

Suy ra $\begin{array}{l}{\text{I}}_1={\text{Q}}_{\left(0;45°\right)}\left(\text{I}\right)\\ {\text{R}}_1=\text{R}=2\end{array}$

Tìm ${\text{I}}_1:{\text{I}}_1={\text{Q}}_{\left(0;45°\right)}\left(\text{I}\right)$ suy ra:

${\text{OI}}_1=\text{OI}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

(OI₁; OI) = 45^o

Suy ra ${\text{I}}_1\in \text{Oy}$ suy ra ${\text{I}}_1(0;\sqrt{2})$

Gọi $I_2\left(x";y"\right)=V_{\left(0;\sqrt{2}\right)}\left(I_1\right)$ ta có:

$\overrightarrow{O{I}_2}=\sqrt{2}\overrightarrow{O{I}_1}\iff \begin{array}{l}x"=\sqrt{2}.0=0\\ y"=\sqrt{2}.\sqrt{2}=2\end{array}$

Suy ra I”(0; 2)

Do đó phép vị tự tâm O, tỉ số $\sqrt{2}$ biến đường tròn tâm I₁, bán kính R thành đường tròn tâm I₂(0; 2), bán kính $R_2=\sqrt{2}R=2\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn tâm I₂, bán kính R₂ là x² + (y – 2)² = 8.