Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau

Giải Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Video Giải Bài tập 2 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Ta có: J, L, K, I là trung điểm của CI, CK, CB, CA nên

 $\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CJ}$ suy ra V_{(C, 2)}(J) = I

$\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{CL}$ suy ra V_{(C, 2)}(L) = K

$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CK}$ suy ra V_{(C, 2)}(K) = B

$\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CI}$ suy ra V_{(C, 2)}(I) = A

Do đó V_{(C, 2)}(JLKI) = IKBA.

Lại có, D_I(I) = I, D_I(K) = H

D_I(B) = D, D_I(A) = C

Nên D_I(IKBA) = IHDC.

Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC.

Vậy hai hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng.

Cách khác:

I là trung điểm AC; BD; HK

Suy  ra Đ_I(H) = K ; Đ_I(D) = B ; Đ_I (C) = A.

Suy ra hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I

J; L; K; I lần lượt là trung điểm của CI; CK; CB; CA

 $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CI}$  suy ra $V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}\left(I\right)=J$

$\overrightarrow{CL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CK}$ suy ra $V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}\left(K\right)=L$

$\overrightarrow{CK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ suy ra $V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}\left(B\right)=K$

$\overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ suy ra $V_{\left(C,\frac{1}{2}\right)}\left(A\right)=I$

Suy ra hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số $\frac{1}{2}$.

Suy ra hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số $\frac{1}{2}$.

Vậy IJKI và IHDC đồng dạng.