Tính số hạng đầu và công sai của nó

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Video Giải Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) u_n = 5 – 2n

b) $u_n=\frac{n}{2}-1$

c) u_n = 3ⁿ

d) $u_n=\frac{7-3n}{2}$

Lời giải:

a) Ta có:

u₁ = 5 – 2.1 = 3

u_n+1 – u_n = 5 – 2(n + 1) – 5 + 2n

= 5 – 2n – 2 – 5 + 2n =  – 2 $\forall n\in \mathbb{N}*$

Suy ra u_n+1 = u_n – 2 

Vậy (u_n) là cấp số cộng có u₁ = 3, công sai d = – 2

b) Ta có: $u_1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

$u_{n+1}–u_n=\frac{n+1}{2}-1-\frac{n}{2}+1$

$=\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{1}{2}$, $\forall n\in \mathbb{N}*$

Suy ra $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) là cấp số cộng có $u_1=-\frac{1}{2}$, công sai $d=\frac{1}{2}$.

c) Ta có

u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 3. 3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ

Vậy (u_n) không là cấp số cộng.

Cách khác:

u_n = 3ⁿ suy ra u₁ = 3

Giả sử $n\ge 1$, xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ

= 3. 3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ

u_n – u_n-1 = 3ⁿ – 3^n-1

= 3. 3^n-1 = (3 – 1).3^n-1 = 2.3^n-1

Suy ra $u_{n+1}–u_n\ne u_n–u_{n-1}$ (vì $3^n\ne 3^{n-1},\forall n$)

Vậy (u_n) không là cấp số cộng.

d) Ta có: $u_1=\frac{7-3.1}{2}=2$

Với mọi $n\in \mathbb{N}*$ ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{7-3\left(n+1\right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=\frac{7-3n-3-7+3n}{2}=-\frac{3}{2}$

Suy ra $u_{n+1}=u_n-\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) là cấp số cộng có u₁ = 2, công sai $d=-\frac{3}{2}$.