Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Video Giải Bài tập 2 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 2 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=10\\ u_1+u_6=17\end{array}$

b) $\begin{array}{l}{u}_7-u_3=8\\ u_2.u_7=75\end{array}$

Lời giải:

a) Ta có :

u₃ = u₁ + 2d ;

u₅ = u₁ + 4d ;

u₆ = u₁ + 5d

Theo đề bài ta có :

$\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=10\\ u_1+u_6=17\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1-\left(u_1+2d\right)+u_1+4d=10\\ u_1+u_1+5d=17\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1+2d=10\\ 2u_1+5d=17\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1=16\\ d=-3\end{array}$

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là u₁ = 16, d = -3.

b) Ta có:

u₇ = u₁ + 6d

u₃ = u₁ + 2d

u₂ = u₁ + d

Do đó theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}{u}_7-u_3=8\\ u_2.u_7=75\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1+6d-u_1-2d=8\\ \left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{array}\iff \begin{array}{l}4d=8\\ \left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{array}\iff \begin{array}{l}d=2\\ \left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{array}\iff \begin{array}{l}d=2\\ u_1^2+14u_1+24=75\end{array}\iff \begin{array}{l}d=2\\ u_1^2+14u_1-51=0\end{array}\iff \begin{array}{l}d=2\\ \begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_1=-17\end{array}\end{array}$

Vậy u₁ = 3, công sai d = 2 hoặc u₁ = -17, công sai d = 2 là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức truy hồi

u_n+1= u_n+ d với$n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (1)

*Lý thuyết:

I. Định nghĩa.

-Cấp số cộnglà một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi làcông saicủa cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1= u_n+ d với$n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

-Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁= 1; công sai d = 3.

II. Số hạng tổng quát

- Định lí:Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁và công sai d thì số hạng tổng quát u_nđược xác định bởi công thức:

u_n= u₁+ (n – 1)d với n ≥ 2.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+\text{}1}}{2};k\ge 2$

- Định lí:Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n= u₁+ u₂+ u₃+ … + u_n.

Khi đó: $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

-Chú ý: vì u_n= u₁+ (n – 1)d nên ta có:$S_n=n{u}_1^{}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{n(n-1)}{2}d$.